4. Двоична бройна система – представяне на цели и дробни числа

Бройна система
Система от символи и правила за тяхната употреба, чрез които може да се изобрази всяко число. Символите на бройните системи се наричат цифри. Положението, което те могат да заемат при представяне на числото, се нарича позиция или разре. Отделните разреди се номерират последователно отдясно наляво, като най-младшият на цялата част на числото има нулев номер.
В математиката се използва десетичната бройна система. Изучаването на други бройни системи, различни от десетичната, се налага от специфичния начин, по който информацията се съхранява в паметта на компютъра. На този етап от развитието на изчислителната техника данните се представят чрез електрически сигнали и затова говорим за две възможни състояния – наличие на електрическо напрежение и липса на такова. Затова най-елементарното количество информация – битът – може да се представи като превключвател с две състояния – включено и изключено. За целите на програмирането тези две състояния се представят съответно чрез 1 и 0 (това е причината за използване на двоичната бройна система). Т.е. всяка една информация – числова, символна и т.н. – се представя, използвайки двоична бройна система. Широко приложение намира още и шестнадесетичната бройна система.

Видове бройни системи
Съществуват два вида бройни системи-позиционни и непозиционни. При непозиционните бройни системи количественият аквивалент, който се съпоставя на една цифра, зависи само от нейната стойност, но не и от нейното място в записа на числото. Непозиционна бройна система е римкста бройна система.
При позиционните бройни системи количественият еквивалент, който се съпоставя на някоя цифра, зависи от стойността на самата цифра, позицията, на която е разположена, и от основата на системата.
Броят на цифрите, които се използват за изобразяване на числата в дадена бройна система, се определя от нейната основа.

Преминаване от една бройна система към друга.
Преминаването от една бройна система към друга се извършва съгласно теоремата:
Всяко естествено число N може да се представи по един единствен начин във вида:
N = an.pn-1+an-1.pn-2+an-2.pn-3+.....+a2.p1+a1.p0
където а1, а2, ..., аn се наричат цифри на числото N, числото p се нарича основа на бройната система.
Например нека да разгледаме десетичното число N=1267. Неговата стойност се получава по следния начин:
N=1267=1. 1000+2.100+6.10+7=
т.е. в този случай: а4=1, а3=2, а2=6, а1=7, р=10
Ако основата на бройната система е Р, то за запис на числата използваме цифрите 0, 1, 2, ..., Р-1. Например в десетична бройна система, чиято основа е 10, ние използваме цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Аналогично, в двоична бройна система, чиято основа е 2, ще използваме само цифрите 0 и 1.

За да знаем дадено число в коя бройна система е записано, след числото като долен индекс в скоби се записва основата на бройната система, в която то е представено. Например, за да укажем, че числото 1011 е записано в двоична бройна система, пишем: 1011(2). Изключение прави само десетичната система, когато това обозначение обикновено се изпуска.

Правило за преминаване от p-ична бройна система в двоична бройна система за целите числа
1. Изходното число се дели на 2 до получаване на частно и остатък.
2. Проверява се дали не се е получило частно по-малко от 2, ако е така, се преминава към точка 4.
3. За изходно число се взема полученото частно. Връшаме се към точка 1.
4. Всички получени остатъци се записват в ред, обратен на получаването им. Полученият запис е запис на числото в 2-ична бройна система.

Правило за преминаване от p-ична бройна система в двоична бройна система за дробните числа
1. Изходното число се умножава с 2. Цялата част се запомня.
2.проверява се дали броят на извършените до този момент умножения се равнява на броя на разредите, които по условие трябва да се намерят. Ако да-т.4, ако не-т.3.
3. дробната част на произведението се приема за ново изходно число и се преминава към т.1.
4. Всички цели числа се записват в такава последователност в каквато са получени. Този запис отговаря на 2-ичния запис на дробта с предварително зададена точност.
Когато число има цяла и дробна част, преминаването се извършва като се приложат двата алгоритъма съответно за цялата и за дробната 4аст.

Запис на числа с фиксирана запетая в ЦЕИМ
Числата с фиксирана запетая се записват, като запетаята се фиксира след най-малдшия разред, т.е. машината ще оперира само с цели числа. Ясно е, че тук се въвежда мащабен коефициент, с помощта на който изходните данни, междинните данни и крайните величини остават винаги цели числа. Данните с фиксирана дължина могат да бъдат с дължина една дума(32 бита) или една полудума(16 бита). И при двата формата обаче най-старшият разред на клетката(разред 0) съдържа знака на числото. Останалите разреди(от 1 до 15 или от 1 до 31) са абсолютната стойност на числото. Прието е за положително число да се използва символът 0, а за отрицателно – 1. Положителните числа с фиксирана запетая се записват в прав код, а отрицателните – в допълнителен код. Правият код е кодът на самото число. Допълниелният код се образува, когато самото число се инвертира и към най-младшия му разред се прибави 1.

Запис на числа с плаваща запетая в ЦЕИМ
Аритметиката с плаваща запетая улеснява програмирането чрез автоматичното записване на запетаята на подходящото място, което е особено удобно за изчисления, при които обхватът на използваните числа е много широк или предварително не е известен. В основата на представянето му стои отделянето на значещите цифри на числото от неговата размерност или числото се записва като произведение от мантисата му и степен с основа 16.

По такъв начин на числото с плаваща запетая съответстват две множества от стойности. Едното множество има за елементи всички набори от значещи цифри на числото и се нарича мантиса. Второто множество посочва степента, на която се повдига основата 16 и по този начин посочва мястото на запетаята в числото. Двете множества се записват във формати с дължина една или две две думи. Всяко от множествата има отделен знак, като трябва да се използва и метод за отразяване на двата знака. Това се постига като знакът на мантисата са взема за знак на съответната дума (или двойна дума), а порядъкът се представя в аритметика с излишък 64. това означава, че порядъкът се прибавя като число към 64. Числото, което се получава в резултат на това прибавяне се нарича характеристика.